ThMM "Matières annexes prérequises"

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- 2 Matières annexes prérequises

Pour fixer l'origine de notre contribution théorique, nous avons besoin de "matières premières" issues d'autres domaines, tels que la physique ou l'histoire.

- 2.1 Le son physique
- 2.1.1 La période
- 2.1.2 L'amplitude
- 2.1.3 La fréquence
- 2.1.4 La pulsation
- 2.1.5 La longueur d'onde
- 2.1.6 La phase
- 2.1.7 Les composantes sinusoïdales: fondamentale et harmoniques
- 2.1.8 Les paramètres du son musical
- 2.1.8.1 Le timbre
- 2.1.8.2 La hauteur
- 2.1.8.3 L'intensité
- 2.1.8.4 La durée
- 2.1.8.5 L'émission
- 2.1.8.6 La tenue
- 2.2 Le commun dénominateur historique

- 2.1 Le son physique

Le son, nous apparaît comme un phénomène complexe: il est le vecteur de la parole, de la musique, et peut prendre une infinité de formes possibles.

Si le son est capté puis reproduit de façon fidèle, nous devrons admettre que toutes les informations contenues dans le son ont été été conservées: c'est le cas lorsqu'on connecte un microphone et un haut-parleur à un amplificateur.

Dans ce cas, toute l'information sonore (le signal sonore) passe par la membrane du microphone et par la membrane du haut-parleur. On peut alors constater que les vibrations de chacune de ces membranes se fait dans une seule direction, perpendiculaire à sa surface. Le signal sonore est donc entièrement contenu dans le simple déplacement d'un point, représentant le centre de la membrane, le long d'un segment de droite dont les extrémités sont déterminées par le déplacement maximal vers l'avant et vers l'arrière.

Il en est de même pour l'oreille: à part les vibrations qui peuvent éventuellement être transmises directement à l'oreille interne par voie osseuse, le signal sonore passe presque entièrement par le tympan, et celui-ci est une membrane qui se contente de vibrer d'avant en arrière.

Le signal sonore se montre donc extrêmement simple: un modeste point qui se déplace le long d'un unique segment de droite.

Les seules variations que l'on peut observer, sont la vitesse de déplacement du point, avec d'éventuelles accélérations et décélérations, et les endroits du segment où le point change de direction: plus ou moins proche d'une des extrémité, plus ou moins proche du centre.

Si on établit des graduations sur le segment de droite (à partir d'une de ses extrémités, ou à partir de son centre avec un sens positif et l'autre négatif), il suffit de connaître la position du point à tout instant, position représentée par un simple nombre variable, pour recueillir le signal sonore.

Le son tel que nous l'entendons se réduit donc à un unique nombre variable que nous nommerons "élongation", évoluant au cours du temps.

Le signal sonore ne contient qu'une seule dimension.

Tout ce qui fait la complexité, et la richesse des sons, vient donc de la façon dont l'oreille interne, les connexions nerveuses, et le cerveau traitent le signal d'origine sonore. Ce traitement inconscient s'effectue automatiquement et "en parallèle", c'est à dire, pendant que le cerveau effectue simultanément d'autres tâches.

C'est uniquement le résultat de ce traitement du signal qui arrive à notre conscience, et à ce moment là, le son entendu est tout sauf unidimensionnel, il possède alors une foule de caractéristiques.

Ont peut, en effet, distinguer un ou "plusieurs sons simultanés", qui ont chacun, entre autres propriétés, une intensité, une hauteur, un timbre, une tenue.

Ce traitement physiologique de l'ouïe' et de l'audition, nous intéresse au plus haut point pour fixer notre "origine théorique". Cependant le peu d'informations disponibles sur le fonctionnement du cerveau (domaine commençant à peine à livrer des renseignements vraiment scientifiques), nous invite à nous contenter de son aspect purement physique, d'autant plus, qu'il est fort probable que des éléments culturels y jouent un rôle important.

En effet, l'une des caractéristique d'un son pourrait être "c'est la voix de Charles Aznavour", ou "ce n'est pas la voix de Charles Aznavour", caractéristique construites à partir d'autres primitives (timbre, hauteur, intensité, tenue...) variant dans certaines limites que l'on sait être celles de "la voix de Charles Aznavour", mais aussi, caractéristique prenant place aux côtés de ses primitives, et apparaissant de la même façon: inconsciemment et "en parallèle". On peut reconnaître la voix de Charles Aznavour sans y réfléchir, et en pensant à autre chose.

D'un point de vue physique, le son est une onde. Nous nous intéresserons peu à la façon dont cette onde se transmet dans un milieu déterminé (l'air par exemple), c'est le domaine de l'acoustique générale.

Par contre, nous étudierons les principaux paramètres du signal sonore musical tel qu'il se présente transmis par le tympan, ou par un microphone. C'est le domaine de l'acoustique musicale.

De ce point de vue le signal sonore est un phénomène périodique, et est décrit mathématiquement comme tel.

Le phénomène périodique le plus élémentaire et le plus régulier est la sinusoïde.

Si dans nos exemples de haut-parleur, de microphone ou de tympan, les déplacements du point central de la membrane le long du segment de droite perpendiculaire à celle-ci se confondent avec les déplacements de la projection, sur ce même segment, d'un point se déplaçant sur un cercle avec une vitesse constante et adéquate, alors, le signale sonore est de type "sinusoïdal"(*).

(*): En cas d'asthme sévère, dire cette phrase à haute voix, d'une seule traite, sans reprendre son souffle, est tout à fait contre-indiqué!.

Un bon petit dessin valant énormément mieux qu'un beaucoup trop long discours, le lecteur est invité à "déplacer le point P" pour qu'une courbe sinusoïdale apparaisse "en rouge", sur le site ChronoMath , ou encore observer la petite animation proposée sur le site de Xavier Hubaut,.

Dans ces animations, telles que nous nous les approprions, l'axe horizontal (axe des "x") est celui du temps, et l'axe vertical (axe des "y") est celui sur lequel se situent les déplacements du centre de la membrane.

Un certain nombre de paramètres sont communs à tous les phénomènes périodiques, sinusoïdaux ou non, ce sont:

- 2.1.1 La période
- 2.1.2 L'amplitude
- 2.1.3 La fréquence
- 2.1.4 La pulsation
- 2.1.5 La longueur d'onde
- 2.1.6 La phase

- 2.1.1 La période

Si le phénomène est parfaitement périodique, il se renouvelle à l'identique, au bout d'un certain temps. Une période, est le laps de temps juste nécessaire pour que le signal se renouvelle. La forme qu'a le signal pendant une période est donc parfaitement superposable à la forme qu'il prend pendant n'importe laquelle des périodes suivantes.

Dans le cas de la sinusoïde, la période est le laps de temps écoulé pendant lequel le point projeté sur l'axe vertical parcourt un cercle complet.

Si le phénomène est quasiment périodique, il existe des petites différences de forme du signal, période après période.

Si le signal n'est pas périodique, on ne peut plus distinguer de période. Ce pléonasme porte notre attention sur le fait que tout signal sonore n'est pas forcément périodique: les bruits blancs et bruits roses font partie des "signaux aléatoires" et n'ont pas de caractéristiques périodiques.

- 2.1.2 L'amplitude

L'amplitude est la différence entre l'élongation maximale, et l'élongation minimale au cours d'une période. Elle représente donc la longueur du segment de droite le long duquel le point central d'une membrane, par exemple, se déplace d'avant en arrière.

- 2.1.3 La fréquence

La fréquence est le nombre de périodes qui se déroulent pendant une seconde.

La fréquence se mesure en périodes par seconde (p/s), en cycles par seconde (c/s) ou, plus généralement en Hertz (Hz). Toutes ces unités sont identiques excepté le nom.

- 2.1.4 La pulsation

L'axe des des "x" (l'axe horizontal), peut représenter le temps de diverses façon.

On peut par exemple y inscrire des graduations représentant le temps absolu écoulé depuis un instant "t0", pris comme référence. On peut, aussi, représenter ce temps de façon relative, en repartant à zéro à chaque début de période.

Dans le cas d'une sinusoïde, nous avons vu qu'une période correspondait à un tour complet du point projeté sur l'axe des "y". On peut donc diviser une période (un cercle complet) en 360 degrés, 400 grades, ou 2 pi. radians.

La pulsation est une mesure de la fréquence, exprimée en radians par seconde, plutôt qu'en périodes par seconde. Elle est utilisée pour simplifier l'expression de fonctions périodiques portant sur des angles ou des arcs, et donc faisant intervenir le nombre pi.

Par extension, on peut utiliser le concept de pulsation, pour tout autre phénomène périodique que la sinusoïde.

Les dénominations "pulsation", "vitesse angulaire" et "fréquence angulaire" désignent toutes exactement ce même concept.

- 2.1.5 La longueur d'onde

Une onde sonore se propage dans un milieu déterminé à une certaine vitesse (plus ou moins 340 mètres par seconde dans l'air). La longueur d'onde est la distance parcourue par l'onde pendant un laps de temps égal à une période. On calcule donc cette valeur en divisant la célérité (la vitesse de l'onde dans le milieu qu'elle traverse) par la fréquence.

La longueur d'une onde de fréquence égale à 20 Hz, est donc de 340/20 = 17 mètres dans l'air.
La longueur d'une onde de fréquence égale à 20.000 Hz est de 340/20.000 = 17 millimètres dans l'air.

C'est à partir d'un calcul sur la longueur des ondes à transmettre, qu'on détermine la taille des instruments de musique. Une contrebasse, par exemple, est beaucoup plus volumineuse qu'un violon.

- 2.1.6 La phase

Plusieurs sons peuvent se superposer, il en résultera un seul signal correspondant à la somme des deux sons.

Si, par exemple, une membrane est poussée dans un sens par une onde sonore, pendant qu'elle est poussée dans le sens contraire par une autre onde sonore ayant même fréquence et amplitude que la première, le résultat sera nul, et la membrane ne bougera pas: les élongations respectives vont se soustraire, et l'amplitude résultante sera nulle.

Lorsque les deux signaux sont, par exemple, de type sinusoïdaux, on voit alors clairement qu'ils s'annihileront si les points projetés sur l'axe des "y" sont décalés d'un demi tour de cercle, c'est à dire décalés de 180 degrés, 200 grades, ou pi radians.

On dira alors que les deux signaux de même fréquence interfèrent de façon destructive, et qu'ils sont en "opposition de phase".

Au contraire, si les périodes des deux signaux commencent en même temps (décalage de 0 degrés), les élongations respectives vont s'ajouter, et l'amplitude résultante sera égale à la somme des amplitudes des deux sons.

On dira alors que les deux signaux de même fréquence interfèrent de façon constructive, et qu'ils sont en "concordance de phase".

Entre ces deux cas extrêmes, toutes les situations intermédiaires peuvent exister.

La phase est donc le décalage angulaire d'une période, par rapport à un instant (t0) pris comme référence. C'est, comme pour la pulsation, un temps exprimé en valeur d'angle.

- 2.1.7 Les composantes sinusoïdales: fondamentale et harmoniques

Il existe une multitude de formes de signal sonore différentes à côté de la sinusoïde.

L'étude de chacune des ses formes serait extrêmement fastidieuse s'il n'existait pas certaines simplifications.

On savait depuis longtemps qu'on pouvait créer de nouveaux sons à partir de sons élémentaires de fréquences et amplitudes adéquates. Ce savoir était mis en oeuvre, notamment, dans la fabrications des orgues.

En 1822, Joseph Fourier démontre qu'il est mathématiquement possible de représenter (synthétiser) un signal périodique de forme quelconque et de fréquence f, par des sinusoïdes de fréquence f, 2f, 3f, 4f..., ayant respectivement une amplitude et une phase adéquate.

La fréquence de la première sinusoïde (de fréquence f) est nommée "fréquence fondamentale", et les fréquences des sinusoïdes suivantes sont nommées "fréquence harmonique".

Il est dès lors logique de considérer la fréquence fondamentale (F) comme une fréquence harmonique zéro (H0), puis ensuite de compter la fréquence de la première harmonique (H1), de le seconde (H2), et ainsi de suite (Hn).

On obtient ainsi les valeurs suivantes: fréquence fondamentale (F) = f, fréquence de l'harmonique un (H1) = 2f, fréquence de l'harmonique deux (H2) = 3f, ..., fréquence de l'harmonique n (Hn) = (n+1)f.

Par convention, et pour éviter toutes confusions, nous emploierons le même nombre pour désigner le rang de l'harmonique, et le rapport de fréquence qui existe entre cette harmonique, et la fréquence fondamentale.

Nous obtiendrons ainsi les fréquences suivantes: F = f, H2 = 2f, H3 = 3f, ..., Hn = nf. Ce qui est moins ambigu.

Pour se rendre compte intuitivement de la façon dont une telle transformation de simples sinusoïdes en un signal complexe, est possible, le lecteur est invité à manipuler systématiquement la petite (mais ô combien lumineuse) animation proposée par Geneviève Tulloue sur le site de l'Université de Nantes.

On y commencera par cliquer sur le bouton "sinus". Le premier curseur vert "offset" permet de positionner le signal par rapport à l'axe des "x". Le premier curseur rouge permet de faire varier l'amplitude de la sinusoïde fondamentale de fréquence f. Les curseurs rouges qui suivent permettent de faire varier l'amplitude des sinusoïdes harmoniques de fréquence 2f, 3f, 4f ..., 12f. Les curseurs bleus permettent de faire varier la phase de la sinusoïde correspondante.

Il est intéressant de toucher à ces curseurs, et observer les résultats obtenus. Il suffit d'appuyer sur "sinus" pour repartir de la sinusoïde originale. Il est intéressant aussi d'observer les signaux prédéfinis, et s'apercevoir ainsi qu'un signal carré ou triangulaire n'a pas d'harmoniques pairs, ou encore que le signal nommé "redressement" n'a pas d'harmoniques impairs.

Cette synthèse (et à rebours, l'analyse correspondante appelée "analyse spectrale") d'un signal quelconque par des composantes sinusoïdales fondamentale et harmoniques constitue le principal apport de la physique, à notre point de départ théorique.

- 2.1.8 Les paramètres du son musical

Nous venons d'examiner les principaux paramètres physique du signal sonore, tel qu'il se présente à un bout de la chaîne de traitement de l'information sonore: au tympan.

A l'autre bout se situe notre conscience du son, et en particulier du son musical.

Nous allons tenter d'esquisser la manière dont ces paramètres physiques influencent les principales caractéristiques du son musical tel qu'il est entendu par notre "cerveau", et non notre "oreille":

- 2.1.8.1 Le timbre
- 2.1.8.2 La hauteur
- 2.1.8.3 L'intensité
- 2.1.8.3 Le timbre
- 2.1.8.4 La durée
- 2.1.8.5 L'émission
- 2.1.8.6 La tenue


- 2.1.8.1 Le timbre

Le timbre, est défini principalement par la composition harmonique du son.

Cependant, une composition harmonique déterminée ne correspond pas toujours à un timbre particulier. Par exemple avec des sons sinusoïdaux (où il n’existe que la fondamentale et pas d’harmoniques) on entend un timbre qui varie avec la hauteur des sons.

- 2.1.8.2 La hauteur

La hauteur d'un son musical, est caractérisée par la fréquence de la composante fondamentale de celui-ci.

A des sons graves correspondent des fréquences fondamentales faibles, et à des sons aigus correspondent des fréquences fondamentales élevées.

Toutefois, le timbre de l'instrument peut influencer la hauteur du son.

Si on entend une clarinette jouant un son de même fréquence fondamentale que celui d'une flûte, la clarinette semble beaucoup plus grave.

Quand on analyse le son de la clarinette, on s'aperçoit que celui-ci ne contient aucune composante harmonique paire. Le résultat est que notre cerveau "crée" une "pseudo-fondamentale" de fréquence moitié de la fréquence de la véritable fondamentale. La vraie composante fondamentale est donc entendue comme une harmonique deux (harmonique de fréquence double de celle de la fondamentale).

- 2.1.8.3 L'intensité

L'intensité du son musical, est avant tout caractérisée par l'amplitude du signal, mais aussi par la présence d’harmoniques de rang élevé, qui accroissent l’énergie totale contenue dans le son.

- 2.1.8.4 La durée

C'est évidemment le laps de temps écoulé depuis l'apparition du son jusqu'à son extinction totale.

- 2.1.8.5 L'émission

L'émission, comme son nom l'indique, est la façon dont le son est émis. C'est le passage du silence à un son qui dure.

L'émission, ou encore "attaque", du signal peut être brutale ou progressive. Elle est définie par un régime transitoire mettant en oeuvre des harmoniques de rang plus ou moins élevés.

L'émission joue avec le timbre, un rôle important dans la reconnaissance des sons, et en particulier dans la reconnaissance des différents instruments de musique.

- 2.1.8.6 La tenue

L'amplitude du son peut rester constante (son soutenu), ou varier de façon continue (crescendo, decrescendo), ou cyclique (vibrato d'amplitude), jusqu'à son extinction.

La fréquence peut elle aussi rester stable, ou varier de façon continue (glissando) ou cyclique (vibrato de fréquence), jusqu'à son extinction.

La tenue est la façon dont le son évolue après l'émission, jusqu'à son extinction totale.

- 2.2 Le commun dénominateur historique

De tous temps, et partout dans le monde, les différents peuples et ethnies ont sélectionnés certains sons parmis tous les sons possible, pour confectionner des instruments de musique, pour pratiquer le chant, ou pratiquer des instruments tels que le violon, qui permettent, comme pour la voix, de jouer des sons de n'importe quelle fréquence entre certaines limites.

Cette sélection de sons, analogue à la palette du peintre, porte le nom de gamme.

Les gammes sont construites selon un principe de "consonance", c'est à dire, en utilisant des sons "qui vont bien ensemble", ou encore des sons ayant tendance à se fondre en un seul: des sons représentant des rapports harmoniques simples.

En effet, lorsqu'on analyse des sons musicaux, le schéma général montre une amplitude du fondamental plus importante que celle des harmoniques. De même, et toujours en général, les différentes harmoniques ont une amplitude plus grande lorsque leurs rang est peu élevé. Il peut y avoir bien des exceptions à cette règle générale (absence de fondamentale, absence d'harmoniques pairs, absence d'harmonique impairs, absence ou amplitude exceptionnelle de tel ou tel harmonique).

Mais, il est probable que le schéma général influence la façon dont le cerveau traite le son. Il a certainement l'habitude d'entendre des fondamentales plus puissantes que des harmoniques deux, des harmoniques deux plus puissantes que des harmoniques trois, et ainsi de suite.

Ceci entre peut-être en compte dans le phénomène de "fausse fondamentale" rencontré dans l'écoute du son de la clarinette (l'absence d'harmoniques pairs provoque une ré-interprétation de la fréquence fondamentale).

Ce qui est certain, c'est que les sons donnent l'impression de se fondre d'autant mieux, que le rapport qui existe entre leurs fréquences respectives représente un rapport harmonique de rang peu élevé.

La gamme dite de Pythagore, est une de ces constructions, ne faisant intervenir que les harmoniques deux et trois.

Elle semble avoir influencé historiquement la majeure partie de la musique mondiale (musiques grecque antique, occidentale, arabe, indienne, chinoise, et beaucoup de musiques africaines).

C'est de l'étude de cette gamme que nous allons tirer notre origine théorique.

Original: 20070516---
Version: 20070517-00

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